Soal kombinasi- Kombinasi Linear adalah vektor yang dapat dibentuk dengan mengalikan skalar pada vektor-vektor lalu menjumlahkan hasilnya.
Kombinasi linear ini penting untuk dipelajari, karena dipakai dalam mendefinisikan istilah lain dalam ruang vektor, seperti himpunan bebas linear dan himpunan yang merentang ruang vektor. Kedua hal ini merupakan syarat dari sebuah basis ruang vektor.
Misalkan V adalah ruang vektor dan v1,v2 adalah dua vektor dalam V. Pada V berlaku operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Artinya, kita dapat mengalikan v1 dan v2 dengan skalar, sebutlah k dan m, sehingga terbentuk vektor kv1 dan mv2.
Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh kv1+mv2. Nah, vektor ini disebut sebagai kombinasi linear dari v1 dan v2.
Soal kombinasi linear
Himpunan R2 dan R3 merupakan ruang vektor atas lapangan R. Jadi, skalar-skalar pada bagian ini merupakan anggota R.
Contoh soal:
- Periksa apakah w=(3,5) merupakan kombinasi linear dari u=(1,1) dan v=(1,2).
Untuk menentukan apakah w merupakan kombinasi linear dari u dan v, kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar k1 dan k2 yang memenuhi w=k1u+k2v, yaitu(3,5)=k1(1,1)+k2(1,2)=(k1+k2,k1+2k2)
Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan lineark1+k2k1+2k2=3=5
Solusi dari sistem persamaan di atas adalah k1=1 dan k2=2. Jadi, w merupakan kombinasi linear dari u dan v.
- Periksa apakah w=(5,10) merupakan kombinasi linear dari u=(1,2) dan v=(2,4).
Kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar k1 dan k2 yang memenuhi w=k1u+k2v, yaitu(5,10)=k1(1,2)+k2(2,4)=(k1+2k2,2k1+4k2)
Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan lineark1+2k22k1+4k2=5=10. Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah [1224510] dengan bentuk eselon baris [102050]
Solusi dari sistem persamaan di atas dapat dinyatakan dalam persamaan parametrikk1k2=−2t+5=t.
Dengan demikian, w adalah kombinasi linear dari u dan v. Lebih lanjut, ada tak berhingga cara menuliskan w sebagai kombinasi linear dari u dan v.
Soal kombinasi dan permutasi mathcyber
Teori peluang merupakan bagian penting dalam matematika yang mempelajari ukuran kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dengan menganalisisnya secara numerik,
Sedangkan kombinatorika mempelajari tentang banyaknya cara menyusun sekumpulan objek. Keduanya melibatkan konsep permutasi dan kombinasi. Berikut ini contoh soal:
- Bu Erna yang tinggal di Jakarta ingin pergi ke Eropa via Turki. Rute dari Jakarta ke Turki ada 5 rute penerbangan. Rute dari Turki ke Eropa ada 6 rute penerbangan.
Banyak semua pilihan rute penerbangan dari Jakarta ke Eropa pergi pulang jika tidak boleh melalui rute yang sama adalah ⋯⋅
A. 900 D. 600
B. 800 E. 460
C. 700
Pembahasan
Fase pergi:
Jakarta ke Turki ⇒ 5 rute.
Turki ke Eropa ⇒ 6 rute.
Fase pulang:
Eropa ke Turki ⇒ 5 rute.
Turki ke Jakarta ⇒ 4 rute.
Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak pilihan rute penerbangan pergi pulang adalah 5×6×5×4=600
(Jawaban D)
- Dari angka 0,1,2,3,4, dan 5 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk jika angka 2 tidak boleh diulang adalah ⋯⋅
A. 125 D. 225
B. 165 E. 281
C. 170
Pembahasan
Banyaknya bilangan tiga angka yang dibentuk dari angka 0,1,2,3,4, dan 5 serta boleh berulang adalah 5×6×6=180.
Perhatikan bahwa posisi angka ratusan tidak boleh diisi oleh angka 0 (non-leading zero).
Banyak bilangan tiga angka yang memuat dua angka 2 dalam format: 22 A, A diisi oleh 5 angka lain dan ada 3 total posisi (ratusan, puluhan, satuan) yang dapat ditempati oleh A adalah 3×5=15.
Perhatikan bahwa angka 0 tidak boleh diisi di posisi ratusan sehingga 022 harus diabaikan. Jadi, hanya ada 14 bilangan yang terbentuk. Banyaknya bilangan tiga angka yang ketiganya adalah angka 2 jelas hanya ada 1, yaitu 222.
Dengan menggunakan prinsip komplemen, banyak bilangan tiga angka di mana angka 2 tidak boleh diulang adalah 180−14−1=165
(Jawaban B)
Demikianlah teman-teman pembahasan kita hari ini tentang soal kombinasi, semoga bermanfaat dan jangan lupa di share ke teman-teman yang lain ya.
