Sistem bilangan real– Sistem bilangan real adalah salah satu materi penting dalam ilmu matematika. Sistem bilangan ini biasanya disebut juga sebagai sistem bilangan riil.
Teori tentang bilangan real muncul sejak teori bilangan dan geometri berkembang pada abad ke-19. Pemikiran tentang bilangan real ini awalnya disumbang oleh matematikawan bernama K. Weierstrass (1815-1897), R. Dedekind (1831-1916), dan G. Cantor (1845-1918).
Apa itu Sistem Bilangan Real?
Sistem bilangan real merupakan himpunan semua bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diwakili dalam bentuk pecahan, sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat diwakili dalam bentuk pecahan, seperti π (pi) dan √2 (akar dua). Sistem bilangan real mencakup semua titik pada garis bilangan, dan ini mencakup angka positif, angka negatif, dan nol.
Representasi Sistem Bilangan Real pada Garis Bilangan
Untuk memvisualisasikan sistem bilangan real, kita dapat menggunakan garis bilangan. Pada garis bilangan, titik-titik mewakili angka-angka dalam urutan yang berkelanjutan. Sebagai contoh, angka 1 berada di sebelah kiri angka 2, angka 2 berada di sebelah kiri angka 3, dan seterusnya. Begitu juga, angka negatif seperti -1 berada di sebelah kiri angka 0, -2 berada di sebelah kiri -1, dan seterusnya. Semakin ke kanan atau ke kiri pada garis bilangan, angka semakin besar atau semakin kecil.
Materi sistem bilangan real
bilangan real adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional dan merupakan susunan kelompok angka dengan aturan tertentu. Himpunannya dinotasikan dengan R.
Komponen lengkap dari bilangan real itu terdiri dari:
- Bilangan asli
Bilangan asli adalah himpunan bilangan yang dimulai dari angka 1. Himpunannya dinotasikan dengan N.
N = {1, 2, 3 4, 5, …}
- Bilangan cacah
Bilangan cacah yaitu himpunan bilangan asli ditambah dengan 0 dan selalu bertanda positif. Himpunan dinotasikan dengan W.
W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
- Bilangan bulat
Bilangan bulan adalah himpunan bilangan cacah yang ditambah dengan semua negatif dari bilangan asli. Himpunannya dinotasikan dengan Z.
Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
- Bilangan irasional
Bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dinotasikan dengan I. Bilangan ini tak dapat diubah dalam bentuk pecahan a/b dengan a,b bilangan bulat dan b≠0, tapi dapat dinyatakan dalam bentuk desimal.
Apabila bilangan irasional diubah menjadi pecahan desimal, maka angkanya tidak akan berhenti di suatu bilangan dan tidak membentuk suatu pola pengulangan tertentu. Contohnya bilangan irasional yaitu:
√2 =1,4142135…
√3 =1,7320508…
√5 = 2,236067…
konstanta e = 2,7182818…
konstanta π = 3,1415926…
- Bilangan rasional
Bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat diubah ke dalam bentuk pecahan a/b dengan a dan b bilangan bulat dan b≠0.
Himpunan bilangannya dinotasikan dengan Q. Bilangan ini punya sifat yang berlawanan dengan bilangan irasional, berikut beberapa contohnya:
0 = 0/1 (dapat diubah ke bentuk a/b)
1,5 = 15/10 (dapat diubah ke bentuk a/b)
5 = 5/1 (dapat diubah ke bentuk a/b)
3/4 = 0,75 (berhenti di suatu bilangan)
8/9= 0,8888888… (memiliki pola pengulangan)
√9 = 3 = 3/1 (dapat diubah ke bentuk a/b).
Sistem bilangan real kalkulus
Turunan fungsi adalah perhitungan laju perubahan pada nilai suatu fungsi. Turunan digunakan untuk mengetahui gradien atau kemiringan suatu kurva pada titik tertentu.
Cara menghitung turunan fungsi f(x) = x² + 2x – 1
Langkah-langkah menghitung turunan fungsi f(x) = x² + 2x – 1 adalah sebagai berikut:
- Gunakan rumus turunan fungsi y = f(x), y’ = lim(h→0) [f(x+h) – f(x)]/h
- Substitusikan f(x) dengan x² + 2x – 1, sehingga y = x² + 2x – 1
- Hitung f(x+h) dengan mengganti x dengan (x+h), sehingga f(x+h) = (x+h)² + 2(x+h) – 1
- Substitusi Dan nilai f(x) dan f(x+h) pada rumus turunan fungsi, sehingga y’ = lim(h→0) [(x+h)² + 2(x+h) – 1 – (x² + 2x – 1)]/h
- Sederhanakan rumus turunan fungsi, sehingga y’ = lim(h→0) [2x + 2h + 2]/h
- Hitung limit saat h mendekati 0, sehingga y’ = 2x + 2
Sehingga turunan fungsi f(x) = x² + 2x – 1 adalah f'(x) = 2x + 2.
Integral tertentu
Integral tertentu adalah nilai luas di bawah kurva fungsi pada interval tertentu. Integral tertentu dapat digunakan untuk menghitung luas, volume, dan lain sebagainya.
Cara menghitung integral tertentu dari fungsi f(x) = x³ pada interval [0,1]
Langkah-langkah menghitung integral tertentu dari fungsi f(x) = x³ pada interval [0,1] adalah sebagai berikut:
- Tentukan batas-batas integral, yaitu 0 dan 1
- Hitung integral dengan rumus integral tertentu, yaitu ∫01 x³ dx
- Integrasikan fungsi, sehingga integral menjadi [x⁴/4] dari 0 sampai 1
- Substitusikan batas-batas integral dan hitung nilai integral, sehingga integral tertentu dari f(x) = x³ pada interval [0,1] adalah 1/4.
Limit fungsi adalah nilai yang didekati suatu fungsi jika variabel bebas mendekati nilai tertentu. Limit fungsi digunakan untuk mengukur perilaku fungsi pada suatu titik.
Cara menentukan limit fungsi f(x) = (x² – 1)/(x-1) saat x mendekati 1
Langkah-langkah menentukan limit fungsi f(x) = (x² – 1)/(x-1) saat x mendekati 1 adalah sebagai berikut:
- Substitusikan nilai x dengan angka yang mendekati 1, misalnya 1.1
- Hitung f(x), sehingga f(1.1) = (1.1² – 1)/(1.1 – 1) = 3.1
- Ulangi langkah 1 dan 2 dengan angka yang mendekati 1 dari sebelah kiri, misalnya 0.9
- Hitung f(x), sehingga f(0.9) = (0.9² – 1)/(0.9 – 1) = 1.9
- Bandingkan nilai f(1.1) dan f(0.9), sehingga limit fungsi f(x) = (x² – 1)/(x-1) saat x mendekati 1 adalah 2.
Turunan parsial
Turunan parsial adalah turunan fungsi yang melibatkan lebih dari satu variabel. Turunan parsial digunakan untuk mengukur laju perubahan pada fungsi multivariabel.
Cara menghitung turunan parsial dari fungsi f(x,y) = x²y – xy²
Langkah-langkah menghitung turunan parsial dari fungsi f(x,y) = x²y – xy² adalah sebagai berikut:
- Turunan parsial terhadap variabel x, yaitu fx = 2xy – y²
- Turunan parsial terhadap variabel y, yaitu fy = x² – 2xy
Integral tak tentu
Integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas atas atau batas bawah. Integral tak tentu digunakan untuk mencari fungsi asal atau fungsi yang dihasilkan dari suatu turunan fungsi.
Cara menghitung integral tak tentu dari fungsi f(x) = 2x
Langkah-langkah menghitung integral tak tentu dari fungsi f(x) = 2x adalah sebagai berikut:
- Integrasikan fungsi, sehingga integral tak tentu menjadi ∫ 2x dx = x² + C
- Substitusikan nilai konstanta C sesuai dengan kondisi awal fungsi atau soal yang diberikan
- Sehingga integral tak tentu dari f(x) = 2x adalah F(x) = x² + C
Demikianlah teman-teman pembahasan kita hari ini tentang sistem bilangan real, semoga bermanfaat dan jangan lupa di share ke teman-teman yang lain ya.
