Interpolasi secara sederhana dapat diartikan sebagai metode yang digunakan untuk menentukan fungsi yang sesuai dari titik-titik yang berikan. Misalnya diberikan beberapa titik.
Interpolasi digunakan untuk menentukan fungsi yang dapat melalui titik-titik tersebut. Secara umum, interpolasi adalah suatu metode atau proses menyusun suatu fungsi atau persamaan dengan menggunakan beberapa titik yang diketahui atau beberapa contoh titik untuk memprediksi atau estimasi nilai pada titik lain yang belum diketahui nilainya.
Misalnya terdapat beberapa titik (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), dan seterusnya. Dari titik-titik tersebut akan dibentuk suatu fungsi atau persamaan f(x) sehingga untuk nilai x yang lain dapat diprediksi/estimasi nilai dari y.
Dalam bidang matematika analisis numeris, interpolasi adalah metode menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari suatu set diskret data-data yang diketahui.
Dalam teknik dan sains, sering kali seseorang memiliki sejumlah titik data yang didapatkan melalui pengambilan sampel atau eksperimen, mewakili nilai-nilai suatu fungsi dengan jumlah nilai variabel bebas yang terbatas.
Seringkali diperlukan mengekstrapolasi (alias memperkirakan) nilai fungsi tersebut pada nilai variabel bebas di pertengahan. Hal ini dapat dicapai melalui pencocokan kurva atau analisis regresi.
Sebuah permasalahan berbeda yang berhubungan dekat dengan interpolasi adalah pendekatan/aproksimasi suatu fungsi kompleks melalui suatu fungsi sederhana. Seandainya formula untuk suatu fungsi tertentu diketahui namun terlalu rumit untuk dinilai secara efisien, maka beberapa titik data yang diketahui dari fungsi asli tersebut dapat digunakan untuk menghasilkan suatu interpolasi berdasarkan suatu fungsi yang lebih sederhana.
Tentu saja, ketika suatu fungsi yang lebih sederhana digunakan untuk memperkirakan titik data dari fungsi asli, biasanya muncul kesalahan interpolasi. Namun, tergantung pada domain masalahnya dan pada metode interpolasi yang digunakannya, keuntungan dari kesederhanaan/kemudahannya lebih menguntungkan daripada hasil berkurangnya keakuratan.
Interpolasi Linier
Interpolasi linear dapat ditentukan jika diketahui dua titik, melalui kedua titik tersebut dapat dibuat satu garis linear. Misalnya terdapat dua titik (x1, y1) dan (x2, y2). Interpolasi linear dari dua titik tersebut adalah
f(x) = y1 + (x – x1) ((y2 – y1)/(x2 – x1))
Atau
f(x) = y2 + (x – x2) ((y2 – y1)/(x2 – x1))
Interpolasi Lagrange
Interpolasi adalah suatu teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui.
Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.
Misalkan fungsi y (x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n.
Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sebagai berikut.
Algoritma Metode interpolasi lagrange
- Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui
- Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,…,N
- Tentukan x dari titik yang dicari
- Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan rumus interpolasi lagrange
- Tampilkan nilai (x,y)
Interpolasi Lagrange merupakan teknik yang popular karena menggunakan fungsi dalam bentuk polinom. Jika fungsi yang dicari adalah f(x) dan cacah data n maka :
Dari manual di atas dapat dituliskan algoritma kasarnya sebagai berikut.
- Tetapkan jumlah titik yang diketahui. Untuk menginputkan titik yang diketahui dapat menggunakan dua array x dan y dengan jumlah data = jumlah titiknya. Dengan dua array akan lebih mudah mengatur perilaku data didalam program.
Bisa juga menggunakan banyak array sejumlah titik yang diketahui, sehingga masing-masing pasang data disimpan dalam satu array. Cara ini terlihat lebih sederhana, tetapi lebih sulit dalam mengatur perilaku data. Dalam implementasi ini nantinya akan dipilih cara yang pertama, yakni menggunakan dua array x dan y.
- Mencari Li(x) dan P(x) Li(x) didapat sejumlah titik yang diketahui, sehingga diperlukan perulangan sebanyak titik yang diketahui. Demikian pula P(x) merupakan jumlahan dari perkalian yi dan Li(x), sehingga memerlukan perulangan yang jumlahnya sana dengan proses pencarian Li(x).
Untuk mencari Li(x) diperlukan Qi(x) dan Qi(xi). Karena Qi(x) merupakan hasil perkalian (x-xi) sejumlah titik yang diketahui, maka diperlukan perulangan lagi untuk mencarinya.
Tetapi yang harus diingat disini adalah bahwa, untuk (x-xi) tersebut tidak ikut dalam hasil perkalian. Sehingga proses hanya akan dilakukan untuk nilai selain (x-xi). Untuk Qi(xi) dapat dicari setelah Qi(x) diketahui dengan cara mensubstitusi nilai xi ke dalam Qi(x).
Setelah Qi(x) dan Qi(xi) diketahui dapat dicari Li(x). Dan untuk selanjutnya mencari P(x). Misalnya banyaknya titik yang diketahui adalah b, maka algoritma di atas dapat diperhalus menjadi sebagai berikut.
- Inputkan b.
- Dari i = 1 s.d b
Inputkan titik ke i - Dari i = 1 s.d b
Cari Qi(x)
Cari Qi(xi)
Cari Li(x)
Cari P(x)
Itulah pembahasan mengenai interpolasi. Semoga bermanfaat dan memudahkan kamu di dalam memahami materi ini, terima kasih.
