Himpunan Bilangan Cacah – Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan dalam pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.
Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.
Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan.
Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran.
Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan akar. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.
Dalam penggunaan sehari-hari, bilangan seringkali diartikan sebagai angka maupun nomor, tetapi ketiga istilah tersebut secara definisi merupakan entitas yang berbeda. Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan.
Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakan angka Hindu-Arab “5” (sistem angka berbasis 10), “101” (sistem angka biner), maupun menggunakan angka Romawi ‘V’. Lambang “5”, “1”, “0”, dan “V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka.
Nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan.
Misalnya kata ‘nomor 3’ menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, …, dst. Kata “nomor” sangat erat terkait dengan pengertian urutan.
Sejarah permulaan munculnya bilangan (matematika) berasal dari bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai seperti Bangsa Mesir di aliran sungai Nil, Bangsa Babilonia yang menghuni pinggiran sungai Tigris dan Efrat, Bangsa Hindu India di sepanjang sungai Indus dan Gangga, Serta Bangsa Cina di sepanjang aliran sungai Huang Ho dan Yang Tze.
Matematika sangat dibutuhkan oleh bangsa-bangsa tersebut untuk perhitungan berbagai kebutuhan sehari-hari yang melibatkan bilangan seperti halnya perhitungan perdagangan, penanggalan, perhitungan perubahan musim, pengukuran luas tanah dan lain-lain.
Pada perkembangan peradaban manusia, matematika semakin diperlukan dalam perdagangan, keuangan, dan pemungutan pajak.
Sistem bilangan yang digunakan oleh bangsa-bangsa zaman dahulu bermacam-macam hingga akhirnya berkembang menjadi bilangan yang sekarang digunakan yaitu sistem bilangan Hindu-Arab.
Bilangan cacah adalah bilangan bulat non-negatif atau bilangan yang tidak negatif. Hal yang perlu dicatat dari definisi ini adalah non-negatif yang berarti tidak ada bilangan negatif seperti -1, -2, dan angka minus lainnya.
Bilangan cacah terdiri atas angka positif, seperti 0, 1, 2, 3, dan seterusnya. Operasi bilangan cacah tidak dimulai dari 1, melainkan dari 0, jadi bilangan cacah dimulai dari angka 0.
Bilangan cacah juga sering disebut sebagai bilangan bulat positif yang dimulai dari 0 hingga tak terhingga. Dikutip dari laman Ruang Guru, Bilangan cacah besar adalah bilangan cacah yang nilainya lebih besar dari puluhan juta, seperti ratusan juta, miliar, triliun sampai kuadriliun.
Menurut Nurlev, jika suatu himpunan tidak memiliki anggota sama sekali karena alasan tertentu, maka cacah anggota himpunan tersebut adalah nol dan dinyatakan dengan angka 0.
Himpunan Bilangan Cacah Kurang Dari 1
Bilangan cacah dapat dihitung dengan beberapa operasi hitung, yaitu sebagai berikut.
a. Operasi Penjumlahan
Bilangan cacah pada penjumlahan digambarkan dengan prinsip: Jika himpunan R memiliki r elemen, kemudian himpunan S merupakan himpunan saling lepas, maka penjumlahan r dan s dinyatakan dengan r+s yang merupakan elemen gabungan dari himpunan R dan himpunan S.
Penjumlahan dipahami sebagai ide mengambil dua hal yang sama secara bersamaan dan menggabungkannya.
Biasanya siswa mulai berlatih penjumlahan dengan menggunakan objek, contohnya 2 apel dan 3 apel diambil dari dua keranjang berbeda dan disatukan dalam keranjang baru. Maka penjumlahannya adalah 2+3.
Dalam operasi penjumlahan, bilangan cacah memiliki beberapa sifat, yakni:
- Bilangan cacah bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, artinya jika suatu bilangan cacah dijumlahkan dengan bilangan cacah lain, maka hasilnya adalah bilangan cacah. Dia tidak akan menjadi bilangan negatif.
- Memiliki identitas penjumlahan nol, yakni jika suatu bilangan cacah dioperasikan dengan bilangan nol, maka hasilnya adalah bilangan cacah itu sendiri. Contoh: 4+0 = 4.
- Bilangan cacah bersifat komulatif pada penjumlahan. Di sini berlaku prinsip a+b = b+a.
Bilangan cacah bersifat asosiatif pada operasi penjumlahan untuk sembarang bilangan cacah. Contoh pada bilangan a, b, dan c berlaku: a + (b+c) = (a+b) + c. Keduanya terlihat berbeda tetapi hasil akhir akan tetap sama.
b. Operasi Pengurangan
Pengurangan adalah pengambilan suatu objek dari kumpulan objek. Jika suatu bilangan cacah a dikurangi dengan b, maka akan menghasilkan c.
Operasinya dilambangkan dengan a-b = c. Dalam hal ini, operasi yang berlaku berkebalikan dengan penjumlahan. Bisa dikatakan bahwa jika a-b = c, maka b+c = a.
Bilangan cacah pada operasi pengurangan memiliki sifat-sifat yakni:
- Tidak memenuhi sifat tertutup, karena tidak setiap pengurangan a dan b menghasilkan bilangan cacah juga. Hasilnya bisa berupa bilangan negatif.
- Tidak memenuhi sifat pertukaran, artinya a-b tidak sama dengan b – a. Sifat pertukaran hanya berlaku jika a dan b memiliki nilai sama, dan hasilnya akan 0.
- Tidak memenuhi sifat identitas, artinya a – 0 ≠ 0 – a. Contohnya 4 – 0 ≠ 0 – 4.
- Tidak memenuhi sifat pengelompokkan atau komulatif. Jika ada tiga bilangan cacah a, b, dan c, maka a – (b-c) ≠ (a-b) – c. Contohnya 5 – (2-1) ≠ (5-2) – 1.
Dalam operasi pengurangan bilangan cacah, dikenal beberapa konsep. Yakni:
- Konsep Mengambil
Ada 6 donat di dalam kotak. Nina memakannya sebanyak 2 donat. Berapa banyak donat yang tersisa di dalam kotak? Jawabannya 6 – 2 = 4 donat.
- Konsep Membandingkan
Contoh: Mario membeli 150 permen. Rifai mempunyai 123 permen. Berapa selisih permen yang dimiliki Mario dan Rifai? Jawabannya adalah 150 – 123 = 27.
- Konsep Menambahkan Bilangan yang Sesuai
Contoh: Hana memiliki 86 buah bolpoin. Kemudian Hana memberikan 10 buah bolpoin kepada Risma. Berapa bolpoin yang tersisa pada Hana? Jika 10 + b = 86, maka b = 86 – 10 = 76.
c. Operasi Perkalian
Pada operasi perkalian bilangan cacah, berlaku prinsip jika terdapat bilangan cacah r dan s, maka hasil dari r dikali s adalah jumlah s yang ditambahkan sebagai r kali. Misalnya r = 4 dan s =5, maka 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 (penambahan hingga 4 kali).
Bilangan cacah pada operasi perkalian memiliki sifat yang mirip dengan operasi penjumlahan, yakni:
- Bersifat tertutup, artinya hasil perkalian bilangan cacah adalah bilangan cacah juga
- Ada unsur identitas pada perkalian, artinya semua bilangan cacah yang dikali 0 akan menghasilkan 0. Contoh: 5 x 0 = 0.
- Berlaku sifat komutatif, artinya a x b = b x a.
- Bersifat asosiatif, artinya (a x b) x c = a x (b x c).
d. Operasi Pembagian
Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Pada operasi ini berlaku prinsip:
Jika a x b = c, maka a = c : b atau b = c : a. Contohnya 3 x 4 = 12, maka 12 : 4 = 3 atau 12 : 3 = 4
Pembagian biasanya digunakan mencari bilangan cacah yang belum diketahui. Operasi pembagian bilangan cacah memiliki sifat-sifat yang sama dengan operasi pengurangan. Dalam operasi pembagian juga dikenal dua konsep, yakni:
- Konsep Partisi
Contoh: 22 : 2 = 11 dengan cara membagi 22 ke dalam 2 kelompok. Setelah dibagi sama banyak, ternyata masing-masing kelompok bernilai 11.
- Konsep Pengukuran atau Pengurangan Berulang
Contoh: 20 : 4 = 20 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4
Untuk mencapai angka 0, 20 harus dikurangi angka 4 hingga lima kali. Jadi, hasil dari 20 : 4 = 5.
Himpunan Bilangan Cacah Dilambangkan Dengan
Lambang bilangan cacah adalah W yang merupakan singkatan dari whole numbers dan mengartikan himpunan bilangan cacah. Contoh bilangan cacah mulai dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, dan seterusnya.
Dalam matematika, lambang bilangan digunakan untuk mengetahui banyaknya satuan ukuran dari hal yang diukur. Lambang bilangan terdiri dari susunan angka-angka. Matematika memanfaatkan keterampilan mengenal hubungan bilangan-bilangan untuk berbagai keperluan.
Kegiatan menggunakan garis bilangan untuk menemukan hubungan kuantitatif di antara data dilakukan dalam operasi aritmetika. Aturan-aturan atau rumus-rumus matematika untuk menghitung jumlah atau menentukan hubungan dari pengukuran dasar diketahuii dengan menggunakan angka.
Bilangan juga diperlukan untuk proses menyatakan suatu pengukuran, pengurutan, dan penggolongan benda-benda.
Sifat Bilangan Cacah
- Tertutup untuk penjumlahan dan perkalian
Sifat pertama bilangan cacah itu simpel. Kalau kita tambah atau kali dua bilangan cacah, hasilnya tetap bilangan cacah juga. Misalnya, 2+2 tetap 4, dan 2×4 tetap 8.
- Asosiatif
Sifat asosiatif ini artinya urutan bilangan yang dijumlahkan atau dikalikan hasilnya tetap sama. Contohnya, (2+3)+4 sama dengan 2+(3+4), keduanya tetap 9. Ini juga berlaku buat perkalian, misalnya (2×3)×4 sama dengan 2×(3×4), keduanya tetap 24.
- Distributif
Sifat distributif bilangan cacah itu seperti bisa menyebarkan operasi hitung ke setiap bilangan dalam kelompok. Misalnya, (2+3)×2 bisa dihitung jadi (2×2)+(3×2) yang hasilnya tetap 10.
Demikianlah pembahasan mengenai himpunan bilangan cacah. Semoga bermanfaat untuk kita semua, sekian terima kasih.
