Himpunan Kuasa – Pada dasarnya setiap hari manusia berhubungan dengan himpunan, klasifikasi himpunan dalam hidup manusia sangat beragam dan banyak sekali, tergantung pada definisi himpunan.
Ketika dihadapkan pada beberapa himpunan maka operasi yang terjadi tidak hanya irisan dan gabungan saja, tetapi akan muncul penjumlahan, pengurangan dan komplemen dan perkalian.
Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas.
Apabila suatu himpunan yang anggotanya berupa himpunan disebut dengan keluarga himpunan atau kelas himpunan. Himpunan dari seluruh himpunan bagian suatu himpunan merupakan salah satu contoh kelas himpunan atau keluarga himpunan.
Secara spesifik keluarga dari semua himpunan bagian dari suatu himpunan S disebut dengan himpunan kuasa dari S, dan dilambangkan dengan . Jika terdapat suatu himpunan berhingga, misalkan banyaknya anggota himpunan S adalah n, maka himpunan kuasa dari S mempunyai anggota sebanyak 2n.
Pengertian Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa atau power set adalah himpunan yang seluruh anggotanya merupakan kumpulan dari himpunan-himpunan bagian.
Misalnya, kita ambil contoh himpunan kuasa dari A, maka dapat ditulis dengan notasi P(A) dengan anggota-anggotanya merupakan himpunan bagian dari himpunan A.
Banyak anggota himpunan kuasa dapat dihitung menggunakan rumus n(P(A))= 2n(A), dengan n(A) adalah banyak anggota dari himpunan A.
Contoh:
Misalkan, terdapat suatu himpunan A yang anggotanya merupakan bilangan-bilangan ganjil ≤ 5. Maka, banyak anggota A adalah sebanyak 3 buah, yaitu A = {1, 3, 5}. P(A) merupakan himpunan kuasa dari A dengan semua anggotanya merupakan himpunan bagian dari A.
Jadi, banyak anggota P(A) adalah n(P(A)) = 2n(A) = 23 = 8, yang terdiri dari { }, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}.
Argumen diagonal Cantor memperlihatkan bahwa himpunan kuasa dari himpunan (tak terhingga atau terhingga) selalu memiliki kardinalitas tertinggi sempurna daripada himpunan itu sendiri (atau secara informal, himpunan kuasa harus lebih besar daripada himpunan asli).
Secara khusus, teorema Cantor memperlihatkan bahwa himpunan kuasa dari himpunan takhingga tercacahkan merupakan himpunan tak terhingga yang tak tercacahkan.
Sebagai contoh, himpunan kuasa dari himpunan bilangan asli dapat korespondensi satu-ke-satu dengan himpunan bilangan real (lihat Kardinalitas dari kontinum).
Himpunan kuasa dari himpunan S , bersama dengan operasi-operasinya seperti gabungan, irisan, dan komplemen, dapat diperlihatkan sebagai contoh dari aljabar Boole.
Bahkan, seseorang dapat memperlihatkan bahwa sebarang aljabar Boole terhingga isomorfik dengan aljabar Boole himpunan kuasa dari himpunan terhingga.
Hal tersebut tak berlaku benar untuk aljabar Boole tak terhingga, tetapi setiap aljabar Boole tak terhingga dapat dinyatakan sebagai subaljabar dari aljabar Boole himpunan kuasa (lihat teorema representasi Stone).
Himpunan kuasa dari S akan membentuk suatu grup Abel ketika dianggap mempunyai operasi beda simetrik (dengan himpunan kosong sebagai elemen identitas dan masing-masing himpunan adalah invers dari himpunan itu sendiri), dan himpunan kuasa dari S akan membentuk monoid komutatif ketika dianggap mempunyai operasi irisan.
Ini disebabkan dengan membuktikan hukum distributif, bahwa himpunan kuasa yang dianggap mempunyai kedua operasi tersebut akan membentuk suatu gelanggang Boole.
Kardinalitas Himpunan Kuasa
Dalam matematika, kardinalitas suatu himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut.
Untuk himpunan hingga, yakni apabila anggota-anggotanya dapat disusun dalam barisan hingga, maka kardinalitasnya adalah panjang barisan tersebut.
Dengan kata lain, kardinalitasnya adalah banyak anggota himpunan tersebut. Banyak anggota dari himpunan kosong adalah nol.
Perumuman konsep ini pada himpunan takhingga didasari pada relasi kesepadanan: dua himpunan dikatakan sepadan apabila ada pemadanan atau korespondensi satu-satu dari satu himpunan ke himpunan lainnya.
Sebagai contoh, suatu himpunan takhingga dikatakan himpunan terhitung apabila ada bijeksi dari himpunan tersebut ke himpunan bilangan bulat.
Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A). Agar lebih jelas, simak contoh soal dibawah ini.
Contoh :
Untuk merayakan hari ulang tahun Pak Zulkarnaen yang ke-50, dia mengajak istri dan ketiga anaknya makan di restoran. Setelah tiba di restoran mereka memesan makanan kesukaan masing-masing yang ada daftar menu restoran tersebut.
Pak Zulkarnaen memesan ikan bakar, udang goreng, dan jus alpukat. Istrinya memesan ikan asam manis, bakso, dan jus terong belanda. Anak pertama Pak Zulkarnaen memesan ikan bakar, bakso, dan jus alpukat.
Anak kedua memesan bakso dan jus terong belanda. Anak ketiganya memesan mie goreng dan jus sirsak.
- Sebutkan anggota-anggota himpunan makanan kesukaan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen.
- Tuliskan seluruh anggota himpunan makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen.
- Adakah anggota keluarga Pak Zulkarnaen yang memesan makanan yang sama? Jika makanan yang sama ditulis sekali, berapa banyak makanan berbeda yang dipesan oleh keluarga Pak Zulkarnaen?
Penyelesaian :
1.Himpunan makanan kesukaan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah sebagai berikut.
- Himpunan makanan kesukaan Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat}.
- Himpunan makanan kesukaan istri Pak Zulkarnaen adalah {ikan asam manis, bakso, jus terong belanda}.
- Himpunan makanan kesukaan anak pertama Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, bakso, jus alpukat}.
- Himpunan makanan kesukaan anak kedua Pak Zulkarnaen adalah {bakso, jus terong belanda}.
- Himpunan makanan kesukaan anak ketiga Pak Zulkarnaen adalah {mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah tiga.
Jika kalian perhatikan semua himpunan tersebut, banyak anggota himpunannya adalah 3.
2. Seluruh makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak.
3. Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan makanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah 8. Berdasarkan keterangan di atas, bilangan 3 dan 8 menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan.
Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finite set) Contoh A ={1, 2, 3, 4}. Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infinite set). Contoh B ={1, 2, 3, 4, …}. Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set).
Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang sudah terdefinisi dengan jelas. Banyaknya anggota suatu himpunan kita namakan dengan kardinalitas himpunan.
Pembahasan
Kardinalitas himpunan adalah banyaknya anggota suatu himpunan
Contoh
1) A = himpunan bilangan asli kurang dari 4
- A = {1, 2, 3}
Kardinalitas himpunan A adalah
- n(A) = 3
2) B = himpunan bilangan prima antara 4 dan 10
- B = {5, 7}
Kardinalitas himpunan B adalah
- n(B) = 2
Himpunan kuasa adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari himpunan tersebut.
Kardinalitas himpunan kuasa adalah 2ⁿ, dengan n adalah kardinalitas himpunan tersebut
Contoh
1) A = {1, 2, 3}
- n(A) = 3
- kardinalitas himpunan kuasa dari himpunan A = 2³ = 8
Jadi himpunan kuasa dari himpunan A adalah
- {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
2) B = {5, 7}
- n(B) = 2
- kardinalitas himpunan kuasa dari himpunan B = 2² =
Jadi himpunan kuasa dari himpunan B adalah
- {∅, {5}, {7}, {5, 7}}
Demikianlah pembahasan mengenai himpunan kuasa. Semoga dapat menambah wawasan kita mengenai materi himpunan kuasa tersebut, sekian terima kasih.
