Sifat Identitas Himpunan – Pada dasarnya setiap hari manusia berhubungan dengan himpunan, klasifikasi himpunan dalam hidup manusia sangat beragam dan banyak sekali, tergantung pada definisi himpunan.
Ketika dihadapkan pada beberapa himpunan maka operasi yang terjadi tidak hanya irisan dan gabungan saja, tetapi akan muncul penjumlahan, pengurangan dan komplemen dan perkalian.
Sebagai gambaran bagi Anda operasi penjumlahan yang biasa kita gunakan dalam bilangan 3 + 7 adalah menjumlahkan bilangan 3 dan 7, dimana 3 dan 7 merupakan anggota dari suatu himpunan yang dapat kita definisikan, misalnya 3, 7 adalah anggota himpunan bilangan asli.
Pada contoh tersebut dapat kita gambarkan bahwa menjumlahkan 3 dan 7, berarti menggabungkan benda yang berjumlah 3 dan benda yang berjumlah 7 menjadi suatu kumpulan, dan yang dimaksud dengan hasil dari operasi tersebut adalah jumlah anggota kumpulan/himpunan yang baru, hasil penggabungan dua kumpulan yang dimaksud.
Sifat Identitas Himpunan Mencakup
Sifat-sifat himpunan sama dengan sifat-sifat bilangan real. Mirip dengan bilangan, himpunan juga memiliki sifat-sifat seperti sifat asosiatif, sifat komutatif , dan sebagainya.
Ada enam sifat penting dari himpunan. yaitu sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat distributif, sifat identitas, sifat komplemen, dan sifat idempoten. Rumus sifat-sifat ketiga himpunan A, B, dan C adalah sebagai berikut.
Berbagai operasi gabungan himpunan, perpotongan himpunan, Komplemen himpunan, untuk himpunan tertentu dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat himpunan di atas.
Sifat-sifat Persatuan Himpunan
Gabungan dua himpunan adalah himpunan baru yang diperoleh dengan menggabungkan dan menuliskan semua elemen dari dua himpunan tertentu.
Untuk gabungan dua himpunan, unsur-unsur persekutuan kedua himpunan tersebut tidak terulang dan hanya ditulis satu kali saja.
Sifat-sifat penyatuan himpunan mengikuti hukum komutatif, hukum asosiatif, serupa dengan bilangan real. Sifat-sifat penting penyatuan himpunan adalah sebagai berikut.
- A ∪ B = B ∪ A (Hukum komutatif)
- ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C) (Hukum Asosiatif)
- A ∪ φ = A (Hukum unsur identitas, φ adalah identitas ∪)
- A ∪ A = A (Hukum Idempoten)
- U ∪ A = U (Hukum U)
Sifat-sifat Perpotongan Himpunan
Perpotongan dua himpunan merupakan unsur persekutuan kedua himpunan tersebut. Banyaknya anggota pada perpotongan dua himpunan lebih sedikit daripada jumlah anggota dalam himpunan tersendiri.
Perpotongan himpunan mengikuti hukum komutatif, hukum asosiatif, hukum distributif, dan hukum idempoten. Sifat-sifat penting perpotongan himpunan adalah sebagai berikut.
- A ∩ B = B ∩ A (Hukum komutatif).
- ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (Hukum Asosiatif).
- φ ∩ A = φ, U ∩ A = A (Hukum φ dan U).
- A ∩ A = A (Hukum Idempoten)
- A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) (Hukum distributif ) yaitu, ∩ menyebar ke ∪
Sifat-sifat Himpunan Komplemen
Komplemen suatu himpunan adalah unsur-unsur sisa himpunan semesta yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Komplemen himpunan A adalah A’, dan mengikuti hukum komutatif sebagai gabungan dan perpotongan himpunan. Sifat-sifat penting dari himpunan komplemen adalah sebagai berikut.
- Hukum Komplemen: A ∪ A′ = U (ii) A ∩ A′ = φ
- Hukum De Morgan : (i). (A ∪ B)´ = A′ ∩ B′
- Hukum De Morgan: (ii) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
- Hukum Komplementasi Ganda:(A’)’ = A
- Hukum Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta: φ′ = U dan U′ = φ
Contoh Sifat Himpunan
Contoh 1: Tentukan gabungan himpunan A dan B dan buktikan bahwa himpunan tersebut mengikuti sifat komutatif gabungan himpunan tersebut. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dan B = {2, 3, 5, 7, 8, 9}.
Larutan:
Himpunan yang diberikan adalah A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dan B = {2, 3, 5, 7, 8, 9}.
Sifat komutatif gabungan himpunan adalah AUB = BU A.
AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6} U {2, 3, 5, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
BUA = {2, 3, 5, 7, 8, 9} U {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Dari dua himpunan di atas terlihat bahwa AUB = BUA
Oleh karena itu, dua himpunan tertentu mengikuti sifat komutatif dari gabungan himpunan.
Contoh 2: Carilah komplemen himpunan A dan buktikan bahwa himpunan tersebut mengikuti sifat-sifat himpunan menurut hukum komplemen rangkap. Diketahui A = {1, 2, 4, 5, 7}, dan μ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Larutan:
Himpunan yang diberikan adalah A = {1, 2, 4, 5, 7}, dan μ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Tujuannya adalah untuk membuktikan sifat-sifat himpunan komplemen rangkap, yaitu (A’)’ = A.
SEBUAH = {1, 2, 4, 5, 7}
A’ = μ – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {1, 2, 4, 5, 7} = {3, 6, 8, 9, 10}
(A’)’ = μ – A’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {3, 6, 8, 9, 10} = {1, 2, 4, 5, 7}
Himpunan di atas (A’)’ sama dengan himpunan A yang diberikan, dan kita mempunyai (A’)’ = A.
Oleh karena itu, himpunan yang diberikan mengikuti sifat komplemen ganda dari himpunan.
Sifat Identitas Himpunan Bertujuan
Himpunan adalah koleksi (pengelompokan) dari objek-objek dengan karakteristik yang dinyatakan dengan jelas. Kejelasan karakteristik diperlukan agar dapat dipelajari dan dikembangkan tanpa menimbulkan keraguan.
Konsep himpunan banyak digunakan dan dijumpai diberbagai bidang bukan hanya di bidang matematika tetapi juga di bidang lain. Dalam kegiatan sehari-hari, himpunan digunakan baik secara langsung maupun tidak langsung.
Teori himpunan merupakan landasan konsep matematika untuk relasi, fungsi, urutan, dan lain-lain yang banyak digunakan dalam kalkulus, analisis, aljabar, geometri, dan lain-lain.
Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu yang memiliki definisi yang jelas dan dianggap sebagai satu kesatuan.
Coba perhatikan contoh kumpulan himpunan berikut ini:
- Himpunan hewan berkaki dua
- Himpunan bilangan asli
- Himpunan lukisan yang bagus
- Himpunan orang yang pintar
Dari contoh kumpulan himpunan di atas, bisakah kalian membedakan yang merupakan himpunan dan yang bukan himpunan? Yang merupakan himpunan adalah contoh 1 dan 2, sedangkan contoh 3 dan 4 bukan himpunan.
Buat yang masih bingung, begini alasannya
Pada contoh 1 hewan berkaki dua, kita akan memiliki pendapat yang sama tentang hewan-hewan apa saja yang berkaki dua, misalnya ayam, bebek, dan burung. Semua setuju kan kalau hewan-hewan tersebut berkaki dua? Pasti setuju.
Nah, hewan berkaki dua memiliki definisi yang jelas sehingga merupakan suatu himpunan. Untuk contoh 2 bilangan asli juga memiliki definisi yang jelas sehingga merupakan suatu himpunan.
Pada contoh 2 lukisan yang bagus dan contoh 4 orang yang pintar, keduanya tidak memiliki definisi yang jelas.
Kata bagus dan pintar memiliki definisi yang berbeda untuk setiap orang, misalnya gue menganggap lukisan A bagus tapi kamu belum tentu menganggap lukisan A bagus juga kan? Oleh karena itu, lukisan yang bagus dan orang yang pintar bukan suatu himpunan.
Secara umum, himpunan disimbolkan dengan huruf kapital dan jika anggota himpunan tersebut berupa huruf maka anggotanya dituliskan dengan huruf kecil. Terdapat beberapa cara penulisan himpunan, yaitu
- Dengan kata-kata
yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat dari anggota himpunan tersebut di dalam kurung kurawal.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40. Ditulis menjadi A = {bilangan asli antara 10 dan 40}
- Dengan notasi pembentuk
Yaitu dengan menyebutkan semua sifat dari anggota himpunan tersebut, dengan anggotanya dinyatakan dalam suatu variabel dan dituliskan di dalam kurung kurawal.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40 Ditulis menjadi A= {x |10 < x < 40, x ϵ bilangan prima}
- Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya
Yaitu dengan menuliskan semua anggota dari himpunan tersebut di dalam kurung kurawal dan tiap anggotanya dibatasi dengan tanda koma. Jika anggotanya terlalu banyak untuk disebutkan, kamu bisa menulis dengan “…”.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40 Ditulis menjadi A={11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 37}
Demikianlah pembahasan mengenai sifat identitas himpunan. Semoga berguna kita untuk kita semua, sekian terima kasih.
