Himpunan Kosong – Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan objek atau elemen yang terdefinisi dengan baik. Berdasarkan jumlah anggota suatu himpunan, kita dapat mendefinisikan himpunan berhingga dan himpunan tak hingga .
Namun, kita mempunyai tipe himpunan tertentu lainnya yang disebut himpunan kosong. Himpunan kosong adalah himpunan unik yang tidak memiliki elemen sehingga kardinalitasnya adalah 0.
Himpunan kosong disebut sebagai “himpunan nol” di sebagian besar buku teks dan publikasi. Sayangnya, himpunan nol merupakan gagasan yang berbeda dalam konteks teori ukuran. Ini mewakili himpunan ukuran nol yang berarti himpunan ini tidak kosong.
Oleh karena itu, himpunan kosong juga dapat disebut himpunan kosong. Pada artikel ini, Anda akan mempelajari definisi matematika tentang himpunan kosong, simbol, contoh dan properti secara detail.
Himpunan yang tidak mengandung unsur apa pun disebut himpunan kosong, himpunan nol , atau himpunan kosong. Misalnya, himpunan jumlah hasil untuk mendapatkan angka yang lebih besar dari 6 ketika melempar sebuah dadu.
Sebagaimana kita ketahui, hasil pelemparan sebuah dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi, himpunan yang bilangannya lebih besar dari 6 adalah {}. Artinya tidak akan ada elemen dan disebut himpunan kosong.
Himpunan kosong dikatakan berperan penting dalam klasifikasi benda-benda yang unik dan ganjil. Selain mempermudah klasifikasi, himpunan kosong digunakan untuk menyederhanakan perhitungan.
Berikut adalah beberapa sifat penting dari himpunan kosong:
Properti 1: Subset dari Himpunan apa pun
Himpunan kosong dapat dianggap sebagai himpunan bagian dari himpunan tertentu. Untuk himpunan X yang berhingga atau tak terhingga.
Jika kita mengecualikan semua kemungkinan himpunan bagian dari himpunan X, maka kita selalu dapat menyertakan himpunan kosong di dalamnya.
Misalnya,
- Misalkan himpunan berhingga X = {1, 3, 5}.
- Semua himpunan bagian yang mungkin dari himpunan X ini dapat ditulis sebagai: X = ∅, X = {1}, X = {3}, X = {5}, X = {1,3}, X = {3, 5} , X = {1,5}.
- Seperti yang Anda lihat, himpunan kosong juga telah disertakan bersama himpunan bagian lainnya karena properti ini.
Sifat 2: Penyatuan dengan Himpunan Kosong
Operasi himpunan yang menggabungkan himpunan antara himpunan mana pun dan himpunan kosong akan selalu menghasilkan himpunan itu sendiri. Untuk himpunan X yang berhingga atau tak terhingga, gabungan himpunan X ini dengan himpunan kosong adalah XU ∅ = X.
Karena himpunan kosong tidak mengandung anggotanya sendiri, maka gabungan antara himpunan kosong dan himpunan X menghasilkan hal yang sama tetapkan X sebagai hasilnya.
Misalnya,
- Misalkan himpunan X = {1, 2, 3, 4}.
- Gabungan himpunan X tertentu dengan himpunan kosong dapat dinyatakan sebagai XU ∅ = {1, 2, 3, 4} U { }. Jadi, AU ∅ = {1, 2, 3, 4}
Sifat 3: Persimpangan dengan Himpunan Kosong
Operasi himpunan dari perpotongan himpunan antara himpunan mana pun dan himpunan kosong akan selalu menghasilkan himpunan itu sendiri.
Untuk himpunan X yang berhingga atau tak terhingga, gabungan himpunan X ini dengan himpunan kosong adalah X ∩ ∅ = X.
Karena himpunan kosong tidak mengandung anggotanya sendiri, maka tidak akan ada unsur persekutuan di antara himpunan tak kosong mana pun. himpunan dan himpunan kosong.
Misalnya,
- Misalkan himpunan X = {2, 4, 6}.
- Gabungan himpunan X tertentu dengan himpunan kosong dapat dinyatakan sebagai X ∩ ∅ = {2, 4, 6}
Sifat 4: Kardinalitas Himpunan Kosong
Kardinalitas mengacu pada ukuran himpunan. Dengan kata lain, ini adalah jumlah total elemen dalam himpunan tertentu. Himpunan kosong tidak mengandung elemen. Jadi, kardinalitasnya sama dengan nol.
Misalnya,
- Misalkan himpunan X = {x: x merupakan kelipatan ganjil dari 2}.
- Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi 2. Jadi, tidak ada kelipatan ganjil dari 2. Tidak ada anggota pada himpunan A atau himpunan A = {}. Oleh karena itu, kardinalitas himpunan A = 0.
Properti 5: Produk Kartesius dari Set Kosong
Hasil kali kartesius suatu himpunan dan himpunan kosong, misalkan himpunan A dan himpunan kosong = A × φ = φ, ∀ A. Hal ini selanjutnya menyiratkan bahwa hasil kali kartesius suatu himpunan dengan himpunan kosong selalu merupakan himpunan kosong.
- Misalkan himpunan tak kosong A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan kosong = {}.
- Produk kartesiusnya =A × φ = φ
Himpunan Kosong Contohnya
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jika himpunan K = {0}, himpunan K bukan merupakan himpunan kosong karena himpunan K mempunyai 1 anggota, yaitu bilangan 0.
- Contoh himpunan kosong
A adalah himpunan nama bulan dalam setahun yang lamanya 25 hari. Penulisannta adalah:
A = { } atau A Ø
B adalah himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2. Penulisannya adalah:
B = { } karena tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
- Contoh himpunan kosong
Misalkan himpunan A = {x : 3 < x < 4, x adalah bilangan bulat} dan himpunan A ini adalah himpunan kosong, karena tidak ada bilangan bulat antara 3 dan 4.
- Misalkan B = {x: x adalah bilangan komposit kurang dari 4} sehingga B adalah himpunan kosong karena 4 adalah bilangan komposit terkecil.
- Himpunan C = {x : x 2 – 3 = 0 dan x adalah bilangan rasional} dan merupakan himpunan kosong karena persamaan x 2 – 3 = 0 tidak dipenuhi oleh sembarang nilai rasional x.
- Himpunan D = { x : x 3 = 27, x genap} adalah himpunan kosong, karena persamaan x 3 = 27 tidak dipenuhi oleh nilai x genap apa pun.
- B = {bilangan asli antara 53 dan 54}
n(B) = 0
Jadi, himpunan B adalah himpunan kosong. - A adalah himpunan bulan dalam setahun yang lamanya 32 hari. Karena tidak ada bulan yang lamanya 32 hari maka A = {}
- Lalu, contoh himpunan kosong adalah himpunan orang-orang yang kini masih hidup dan umurnya 1.000 tahun. Tidak ada orang yang masih hidup dan umurnya 1.000 tahun, maka himpunannya adalah kosong.
Ciri khas dari himpunan kosong adalah yang benar-benar tidak memiliki anggota. Himpunan kosong berbeda dengan bukan himpunan.
Sedangan, secara umum ciri-ciri himpunan adalah adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan, adanya unsur pembentuk himpunan ada andanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.
Nol tidak termasuk Himpunan Kosong sebab, angka nol (0) bukan lah himpunan kosong tetapi merupakan anggota dari himpunan yang bernilai nol (0). Misalnya, pada himpunan 5 bilangan cacah pertama, maka bilangan nol adalah salah satu anggota himpunan bilangan tersebut.
Himpunan Kosong Symbol
Himpunan kosong direpresentasikan sebagai {}, tidak mengandung elemen sama sekali. Itu juga direpresentasikan menggunakan simbol ‘∅’ (dibaca ‘phi’).
Suatu himpunan dapat didefinisikan sebagai himpunan kosong atau himpunan nol jika tidak mengandung elemen apa pun. Dalam teori himpunan, himpunan kosong dapat digunakan untuk mengklasifikasikan bilangan bulat antara 6 dan 7.
Karena contoh ini tidak memiliki jawaban pasti, maka contoh ini dapat direpresentasikan menggunakan himpunan kosong atau himpunan nol.
Mari kita perhatikan contoh berikut di mana kita perlu menentukan apakah himpunan tertentu merupakan himpunan kosong.
a.) X = {x : x adalah bilangan prima dan 14<x<16}
Himpunan bilangan prima akan kita anggap sebagai A. Jadi, A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…}. Karena tidak ada bilangan prima antara 14 dan 16, maka kita dapat menyimpulkan bahwa X adalah himpunan kosong.
b.) Jumlah mobil van dengan 12 pintu.
Dalam kehidupan nyata, kecuali ada situasi di mana perusahaan pembuat van membuat model tertentu, mustahil menemukan van yang memiliki 12 pintu. Jadi, himpunan yang berisi mobil van 12 pintu itu merupakan himpunan kosong.
Himpunan kosong dianggap sebagai himpunan unik dalam teori himpunan dan karenanya, himpunan tersebut juga memiliki kardinalitas yang unik.
Kardinalitas dapat didefinisikan sebagai besar kecilnya himpunan atau jumlah total elemen yang ada dalam suatu himpunan. Karena himpunan kosong tidak mengandung elemen apa pun, kita dapat mengatakan bahwa kardinalitasnya adalah nol.
Dalam teori himpunan, himpunan kosong direpresentasikan dengan menggunakan tanda kurung kurawal kosong {} yang umumnya digunakan untuk menyatakan himpunan.
Namun, karena himpunan kosong adalah jenis himpunan unik, himpunan ini juga dapat direpresentasikan dengan menggunakan karakter khusus ∅. Mari kita perhatikan contoh himpunan kosong A yang berisi kelipatan 5 antara 6 dan 8.
Karena tidak ada kelipatan 5 antara 6 dan 8, maka himpunan tersebut adalah himpunan kosong. Himpunan A = {y: y adalah kelipatan 5 dan 6<y<8}
- Notasi himpunan kosong ini adalah: A = {}.
- Himpunan kosong A yang sama juga dapat direpresentasikan menggunakan notasi berikut: Himpunan kosong = {} atau, X = {}.
- Kita dapat menggunakan simbol khusus ∅ untuk menyatakan himpunan kosong.
Demikianlah informasi mengenai himpunan kosong. Semoga dapat menambah pengetahuan kita semua, sekian terima kasih.
